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<title>Parallelresonanz</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Parallelresonanz</span></h1>
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</div>
<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Parallelresonanz</b>, auch <b>Stromresonanz</b>, ist die Bezeichnung für das <a href="Impedanz" class="mw-redirect" title="Impedanz">Impedanzmaximum</a> elektronischer Schaltungen in der Umgebung einer Resonanzfrequenz. <a href="Schwingkreis#Parallelschwingkreis" title="Schwingkreis">Parallelschwingkreise</a> besitzen nur eine Resonanzfrequenz, andere Schaltungen mehrere.
</p>
<p>Diese hohe Impedanz wird beim <a href="Sperrkreis" title="Sperrkreis">Sperrkreis</a> verwendet, um unerwünschte Frequenzen zu blockieren.
</p><p>Das Gegenstück zur Parallelresonanz ist die <a href="Reihenresonanz" title="Reihenresonanz">Reihenresonanz</a>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Resonanz">Resonanz</h2></div>
<p>Für den Betrag des frequenzabhängigen <a href="Scheinwiderstand" class="mw-redirect" title="Scheinwiderstand">Scheinwiderstands</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Z|}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>Z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Z|}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76645902480f5afcbd4ebfe247c30268a3e16d69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.974ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |Z|}" loading="lazy"></span> einer Parallelschaltung aus R, L und C gilt nach den Grundlagen der Wechselstromtechnik:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |Z|={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>Z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msup>
<mi>R</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>C</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |Z|={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/379ce39947e885f870e0601e5ffd0131bd4dfc18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:27.848ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle |Z|={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Wenn der Term <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>C</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbc4fea06f2e6c21431b5bb855c369980102c7b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.338ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)}" loading="lazy"></span> Null wird, ist der Scheinwiderstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>Z</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"></span> der Parallelschaltung nach außen hin ein reiner, reeller <a href="Wirkwiderstand" title="Wirkwiderstand">Wirkwiderstand</a>:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{r}=R}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>Z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{r}=R}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/264269a6040b42b41bbf9dfb9e6cb6fe6bb3b445.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.424ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Z_{r}=R}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Die Parallelresonanz tritt auf bei
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega C={\frac {1}{\omega L}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega C={\frac {1}{\omega L}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/594aed42b9a5820d0a787a7d2993a839d8a63b9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.175ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega C={\frac {1}{\omega L}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Obige Gleichung nennt man die <i>Resonanzbedingung.</i> Aus der Resonanzbedingung lässt sich durch Umformung und Auflösung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>ω<!-- ω --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> die Frequenz bestimmen, bei der die Resonanz eintritt, die Resonanzfrequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{r}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{r}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed5d68a307fec81cabf96a4c1cfcc0181d5d104c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.113ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{r}}" loading="lazy"></span>. Sie ergibt sich aus der <a href="Thomsonsche_Schwingungsgleichung" title="Thomsonsche Schwingungsgleichung">Thomsonschen Schwingungsgleichung</a>:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>π<!-- π --></mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mi>L</mi>
<mi>C</mi>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0c2d8331be76a73ae7510ab2811d0ae15ae5b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.663ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Eigenschaften_bei_Resonanz">Weitere Eigenschaften bei Resonanz</h2></div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Resonanzstrom">Resonanzstrom</h3></div>
<p>Durch die Blindwiderstände von L und C tritt bei Resonanz ein weiterer Effekt auf. Es fließen die folgenden <i>Resonanzströme</i> zwischen den beiden Bauelementen:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=\omega _{r}CU={\frac {U}{\omega _{r}L}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
<mi>C</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>C</mi>
<mi>U</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>U</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>L</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=\omega _{r}CU={\frac {U}{\omega _{r}L}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43729c6d19bce9db7f37bde8dae6048108112ba5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.464ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=\omega _{r}CU={\frac {U}{\omega _{r}L}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Die Ströme erreichen für den Fall, dass
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{r}L={\frac {1}{\omega _{r}C}}<R}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>C</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo><</mo>
<mi>R</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{r}L={\frac {1}{\omega _{r}C}}<R}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e708f3a5fa9001b450e7ae368edfdaecafa06413.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.985ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{r}L={\frac {1}{\omega _{r}C}}<R}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Werte, die <i>größer</i> sind als der von außen durch die Klemmenspannung getriebene Strom <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{r}={\frac {U}{Z_{r}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>U</mi>
<msub>
<mi>Z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{r}={\frac {U}{Z_{r}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc4f66384bfde60b23f74bf1172e8792fcfc4ad2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:8.493ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I_{r}={\frac {U}{Z_{r}}}}" loading="lazy"></span>. Aus dieser Schaltungseigenschaft resultiert die alternative Bezeichnung <i>Stromresonanz</i> für die <i>Parallelresonanz.</i>
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phasenwinkel">Phasenwinkel</h3></div>
<p>Der Phasenwinkel (<a href="Phasenverschiebung" title="Phasenverschiebung">Phasenverschiebung</a>) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>φ<!-- φ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> bei Resonanz beträgt
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{r}=\arctan {\frac {0}{R}}=0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo><!-- --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>0</mn>
<mi>R</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{r}=\arctan {\frac {0}{R}}=0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81bd541e23871b2ab191c103f1987f1aad571735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.307ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{r}=\arctan {\frac {0}{R}}=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>also keine Phasenverschiebung, da sich die Schaltung wie ein reiner Wirkwiderstand verhält.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisgüte"><span id="Kreisg.C3.BCte"></span>Kreisgüte</h3></div>
<p>Die <i>Kreisgüte Q,</i> auch <i><a href="G%C3%BCtefaktor" title="Gütefaktor">Gütefaktor</a>, Resonanzüberhöhung</i> oder <i>Resonanzschärfe,</i> ist der Kehrwert des Verlustfaktors <i>d.</i> Für die Parallelschaltung von <i>R, L</i> und <i>C</i> erhält man:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q={\frac {1}{d}}=R\omega _{r}C={\frac {R}{\omega _{r}L}}=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>Q</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>d</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>R</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>L</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mfrac>
<mi>C</mi>
<mi>L</mi>
</mfrac>
</msqrt>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q={\frac {1}{d}}=R\omega _{r}C={\frac {R}{\omega _{r}L}}=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0b9931b1edace6fe6ffff4118aabcd1e9367484.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.763ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle Q={\frac {1}{d}}=R\omega _{r}C={\frac {R}{\omega _{r}L}}=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Damit gibt sich für die Resonanzströme
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=QI_{r}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
<mi>C</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>Q</mi>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=QI_{r}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cb564838c37c98d62b47d1247eebdc3ac2e93fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.394ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{rC}=I_{rL}=QI_{r}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sonderfälle"><span id="Sonderf.C3.A4lle"></span>Sonderfälle</h2></div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parallelresonanz_von_Spulen">Parallelresonanz von Spulen</h3></div>
<p>Spulen besitzen nicht nur zwischen den Anschlussdrähten eine geringe Kapazität, auch zwischen den einzelnen Windungen. Zusammen mit den dazwischen liegenden Induktivitäten entsteht ein Gebilde aus verteiltem <i>L</i> und <i>C,</i> das – ähnlich wie ein Dipol – mehrere Resonanzfrequenzen besitzt, die mit den Formeln der <a href="Leitungstheorie" title="Leitungstheorie">Leitungstheorie</a> berechnet werden können.
</p><p>Speist man eine lange Zylinderspule mit hochfrequentem Strom, kann man mit einem <a href="Oszilloskop" title="Oszilloskop">Oszilloskop</a> die Spannung als Funktion der Länge messen. Folgt diese einer im Bild dargestellten Funktion, liegt Parallelresonanz vor, <i>obwohl kein</i> Kondensator erkennbar ist. Die Gesamtspannung zwischen den Spulenenden ist dann sehr groß, erheblich größer als der rechnerische Wert des induktiven Widerstandes.
</p>
<p><span id="Kreuzwickelspule"></span></p><p>Die tiefste Resonanzfrequenz kann durch eine besondere Wickeltechnik vergrößert werden. Bei einer <i>Kreuzwickelspule</i> ist der mittlere Abstand aufeinanderfolgender Windungen erheblich größer als bei üblicher Zylinderwicklung, wodurch sich die Kapazität aufeinanderfolgender Windungen verringert. Langgestreckte, einlagig gewickelte Zylinderspulen besitzen die höchste Eigenresonanzfrequenz. Bei sehr vielen Windungen, wie bei der Sekundärspule eines <a href="Tesla-Transformator" title="Tesla-Transformator">Tesla-Transformators</a>, sinkt sie allerdings auf etwa 500 kHz.
</p><div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parallelresonanz_bei_Schwingquarzen">Parallelresonanz bei Schwingquarzen</h3></div>
<p>In vielen elektronischen Schaltungen ersetzt man wegen jener teilweise erheblich besseren Eigenschaften Schwingkreise durch <a href="Schwingquarz" title="Schwingquarz">Schwingquarze</a>. Obwohl – abgesehen von parasitären Eigenschaften – diese Kristalle keine Spulen oder Kondensatoren besitzen, zeigen sie auf ganz speziellen Frequenzen alle Eigenschaften der Parallelresonanz; diese wird durch die Kombination von <a href="Piezoelektrizit%C3%A4t" title="Piezoelektrizität">Piezoelektrizität</a> und <a href="Resonanz#Mechanik" title="Resonanz">mechanischer Resonanz</a> verursacht. Demzufolge kommt es auch auf (ungeradzahligen) <a href="Harmonische" title="Harmonische">Harmonischen</a> zur Resonanz. Ausgehend von der tiefsten Frequenz verhalten sich die Resonanzfrequenzen ungefähr wie 1:3:5:7… Sie sind extrem stabil und weisen erheblich höhere <a href="G%C3%BCtefaktor" title="Gütefaktor">Gütefaktoren</a> als Schwingkreise auf, weshalb man <a href="Quarzoszillator" title="Quarzoszillator">Quarzoszillatoren</a> als Taktgeber in Uhren und Sendern verwendet. Alle Schwingquarze zeigen <a href="Reihenresonanz" title="Reihenresonanz">Reihenresonanz</a> auf einer geringfügig tieferen Frequenz.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parallelresonanz_bei_Leitungen">Parallelresonanz bei Leitungen</h3></div>
<p>Bei Geräten im Radarbereich wird die Eigenschaft von <a href="Stichleitung" title="Stichleitung">Stichleitungen</a> ausgenutzt, den Abschlusswiderstand abhängig von der Länge <i>L</i> zu transformieren (siehe <a href="Leitungstheorie" title="Leitungstheorie">Leitungstheorie</a>). <a href="Streifenleitung" title="Streifenleitung">Streifenleitungen</a> sind wegen der <a href="Permittivit%C3%A4t" title="Permittivität">Permittivität</a> des isolierenden Trägermaterials verkürzt.
</p>
<ul><li>Falls <i>L</i> = λ/2 <i>und</i> ein Ende offen ist, hat das andere Ende ebenfalls hohe Impedanz. Das gilt unverändert, wenn die Drahtlänge verdoppelt, verdreifacht oder allgemein ver-<i>n</i>-facht wird (<i>n</i> ∈ <a href="%E2%84%95" class="mw-redirect" title="ℕ">ℕ</a>).</li>
<li>Falls <i>L</i> = λ/4 <i>und</i> ein Ende an Masse liegt, misst man am anderen Ende Parallelresonanz, also besonders hohe Impedanz. Das kurze Drahtstück ist bei dieser Wellenlänge genauso hochohmig wie ein Parallelschwingkreis. Das wird bei sehr hoher Frequenz verwendet, um eine Leitung wie mit einem Isolator zu stützen, obwohl diese Stütze für Gleichstrom sehr gut leitet.</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Resonanzwiderstand" title="Resonanzwiderstand">Resonanzwiderstand</a></li>
<li><a href="Reihenresonanz" title="Reihenresonanz">Reihenresonanz</a></li>
<li><a href="Zweipol" title="Zweipol">Zweipol</a></li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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</div>
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</div>
</div>
</div>
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